【数学】压轴二次函数，套路在手

二次函数综合题通常是中考的压轴题型，常考类型有：①线段问题（包括线段的数量关系、线段长的关系式及最值和周长的关系式及最值）；②探究面积数量关系或最值问题；③探究特殊三角形的存在性问题；④探究特殊四边形的存在性问题；⑤探究相似三角形的存在性问题.常常用到分类讨论思想和数形结合思想.

七嘴八舌说考情陕西：

题位在第24题，常会涉及二次函数图象的平移、对称，且设问会涉及抛物线变换前后对应点组成的图形的判定问题、面积问题、三角形相似问题.

河南：

题位在第23题，分值为11分，考查设问：①第一问多为用待定系数法求二次函数解析式；②没有考查过探究三角形相似的存在性问题，其他类型都有考查.

山西：

必考压轴题，第1问求函数解析式或顶点坐标；第2、3问为特殊三角形、特殊四边形的存在性问题、面积问题或周长问题，涉及相似三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定.

安徽：

仅2016年在第22题考查，第1问为利用待定系数法求系数，第2问为求面积的关系式.

云南：

必考压轴题，设问以3问居多；分值为9-12分；第1、2问多为求抛物线解析式，点坐标，直线解析式，第3问没有考过探究线段的数量关系或周长最小问题，其他均有考查.

湖南：

常与动点几何图形结合，考查内容包括：求抛物线解析式、求三角形周长最小值、图形面积最值、探究相似三角形的存在性、判定特殊四边形、判定等腰三角形与直角三角形、切线的判定等.

江西：

必考题型，题位在解答题最后两道中任意一道，主要设问有：（1）求线段长及与线段有关的证明；（2）探究特殊三角形及四边形的存在性；（3）求二次函数系数的值；（4）由多条抛物线结合总结出抛物线相同及不同的结论；（5）判断动点以及相等线段的存在性.

专家秘招赶紧看

虽然字有点多，但是一定要认真看哦！

解决二次函数综合题时，应掌握以下内容：

1、求抛物线解析式

一般用待定系数法

（1）当a、b、c 中只有一个系数未知时，代入一个点坐标求解；

（2）当a、b、c 中有两个系数未知时，代入两点坐标求解；

（3）当a、b、c 三个系数均未知时，分三种情况求解

2、探究线段相关问题

1.线段数量关系

    此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；

2.线段最值问题

此类问题通常有两类：

（1）设出关键的未知数（通常是一个和所求线段关系紧密的点的横坐标），通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；

（2）在求线段最小值时可以利用轴对称模型，此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离和最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值.

3.周长最值问题

      此类问题一般所求图形中有一动点，利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚确定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，方法同（2）.

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探究面积相关问题

（1）对于含参数的图形面积，在自变量的取值范围内，利用函数的增减性可以求得其最值；

（2）如果是面积的倍分关系，一般用等积变形来解决，即过三角形的一个顶点做它对边的平行线或是从图形中寻找出这样的直线，利用等底等高来进行等积变形，从而实现三角形顶点的转化；

（3）如果过某个顶点的线段平分三角形的面积，则该线段一定过该顶点对边的中点.

4、探究特殊三角形的存在性问题

（1）探究直角三角形的存在性问题

步骤：

①先假设结论成立；

②找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分类讨论，

具体方法：

• 当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与所求点满足条件的坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；
• 当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的坐标轴或抛物线有交点时，此交点为符合条件的点.
  
  

③计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，再利用相似三角形的性质得出比例式，或利用勾股定理进行计算，或利用三角函数建立方程求点坐标；

（2）探究等腰三角形的存在性问题

• 当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径作弧，若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点，否则无交点；
• 当定长为底边时，先做出定长的垂直平分线，若垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为所求的点，否则不存在；
  
  

③计算：把所求等腰三角形的边长用含字母的式子表示出来，根据两边相等列关系式，即可求出字母的值.

5、探究特殊四边形的存在性问题

（1）平行四边形的存在性问题

常见题型为已知两点A、B，求另外两点C、D，此类题目需要从AB 是平行四边形的边和对角线两种情况进行分析：

①当AB 是平行四边形的边时，找与AB 平行且相等的线段CD，分别建立两线段相等的数量关系，利用平行四边形的性质计算；

②当AB 是平行四边形的对角线时，AB 的中点即是平行四边形的对角线交点，结合抛物线的对称性利用相似三角形的性质即可求解；

（2）菱形的存在性问题

通常有两大类：

①已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线去画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形；

②已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形；

（3）计算：建立类似平行四边形的存在性问题来解.

6、探究相似三角形的存在性问题

假设结论成立，分情况讨论.探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角（尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目），或者涉及到动点问题，因动点问题中点的位置不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；

（1）确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看两个三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应相等来分类讨论；

（2）建立关系式，并计算.由相似三角形对应边成比例列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来（其长度多借助勾股定理运算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标.